[Перевод] Семья математиков за 20 лет решила важнейшую задачу теории групп

Бритта Шпет посвятила всю свою карьеру доказательству одной‑единственной ключевой гипотезы. Наконец ей удалось добиться успеха вместе с её партнёром Марком Кабанесом.

В 2003 году немецкая аспирантка по имени Бритта Шпет наткнулась на гипотезу Маккея — одну из крупнейших нерешённых задач в области математики, известной как теория групп. Сначала её цели были относительно скромными: она надеялась доказать одну‑две теоремы, которые позволили бы сделать небольшой шаг вперёд в решении этой задачи, как делали многие другие математики до неё. Но с годами она снова и снова возвращалась к ней. По её словам, всякий раз, когда она пыталась сосредоточиться на чём‑то другом, «это не срабатывало».

Существовал риск, что столь упорное стремление к решению столь сложной задачи может навредить её академической карьере, но Шпет всё равно посвятила ей всё своё время. Это привело её в кабинет Марка Кабанеса — математика, ныне работающего в Институте математики Жюссьё в Париже, который, вдохновлённый её усилиями, тоже полностью погрузился в работу над этой гипотезой. Работая вместе, они влюбились друг в друга и в конце концов создали семью.

Проблема, которая поглотила их внимание, берёт за основу одну из ключевых тем математики и превращает её в конкретный инструмент для исследователей теории групп. Математика полна чрезвычайно сложных абстрактных объектов, которые невозможно изучить в полном объёме. Однако, как обнаружили математики, зачастую достаточно рассмотреть лишь небольшой фрагмент такого объекта, чтобы понять его более общие свойства. Например, в III веке до н. э. древнегреческий математик Эратосфен оценил окружность Земли — примерно 40 000 км — путём измерения теней, отбрасываемых солнцем, всего в двух городах, расположенных на расстоянии около 800 км друг от друга. Аналогичным образом, когда математики хотят понять невероятно запутанную функцию, они могут посмотреть, как она ведёт себя на небольшом подмножестве возможных входных значений. Этого может быть достаточно, чтобы понять, как функция ведёт себя при всех возможных входных данных.

Гипотеза Маккея — ещё один пример этого принципа. Согласно ей, если вы хотите сформулировать исчерпывающее описание группы — важной математической структуры, изучение которой может оказаться чрезвычайно сложным, — вам достаточно рассмотреть лишь крошечную её часть.

После того как в 1970-х годах была сформулирована эта гипотеза, десятки математиков пытались доказать её. Им удалось добиться частичного прогресса — и в процессе они узнали много нового о группах, которые представляют собой абстрактные объекты, описывающие различные симметрии математической системы. Однако полное доказательство казалось недостижимым.

И тогда появилась Шпет. Сейчас, спустя 20 лет с тех пор, как она впервые узнала об этой задаче, и более десяти лет после знакомства с Кабанесом, эти две математички наконец завершили доказательство.

Когда пара объявила о своём результате, их коллеги были в восторге. «Я хотела, чтобы по этому поводу устроили парад», — сказала Перси Диаконис из Стэнфордского университета. «Годы упорного, упорного, упорного труда, и она это сделала, они вдвоём это сделали».

Сила простых чисел

Гипотеза Маккея началась с обнаружения странного совпадения.

Джон Маккей — которого один из его друзей охарактеризовал как «блестящего, мягкого в общении и очаровательно неорганизованного» — был известен своей способностью обнаруживать числовые закономерности в неожиданных местах. Этот математик из Университета Конкордия, пожалуй, наиболее известен своей «гипотезой чудовищного вздора», которая была доказана в 1992 году и установила глубокую связь между так называемой «чудовищной группой» и особой функцией из теории чисел.

Перед своей смертью несколько лет назад Маккей также обнаружил множество других важных связей, многие из которых касались групп. Группа — это множество элементов, объединённых правилом, определяющим, как эти элементы соотносятся друг с другом. Её можно представить как совокупность симметрий — преобразований, которые оставляют фигуру, функцию или какой‑либо другой математический объект неизменным в определённых отношениях. Несмотря на всю свою абстрактность, группы чрезвычайно полезны и играют центральную роль в математике.

В 1972 году Маккей сосредоточился на конечных группах — группах, имеющих конечное число элементов. Он заметил, что во многих случаях можно вывести важную информацию о конечной группе, рассмотрев очень небольшое подмножество её элементов. В частности, Маккей рассматривал элементы, образующие особую, более мелкую группу — так называемый нормализатор Силова — внутри исходной группы.

Представьте, что у вас есть группа, состоящая из 72 элементов. Само по себе это не говорит о многом: существует 50 различных групп такого размера. Но число 72 можно также записать в виде произведения простых чисел: 2 × 2 × 2 × 3 × 3, то есть как 2³ × 3². (Как правило, чем больше различных простых чисел требуется для описания размера группы, тем сложнее сама группа.) Вы можете разложить группу на более мелкие подгруппы на основе этих простых чисел. В данном случае, например, можно рассмотреть подгруппы с восемью (2³) элементами и подгруппы с девятью (3²) элементами. Изучая эти подгруппы, можно больше узнать о структуре всей группы в целом — например, из каких ещё составных частей она состоит.

Теперь возьмите одну из этих подгрупп и добавьте к ней несколько конкретных элементов, чтобы создать особую подгруппу — нормализатор Силова. В вашей группе из 72 элементов можно построить разные нормализаторы Силова для каждой подгруппы из восьми и девяти элементов — это, соответственно, 2-нормализаторы и 3-нормализаторы Силова.

Нормализаторы Силова, как и подгруппы, из которых они состоят, могут многое рассказать математикам об исходной группе. Однако Маккей выдвинул гипотезу, что эта связь гораздо сильнее, чем кто‑либо мог себе представить. Дело было не только в том, что нормализатор Силова мог дать представление об общей структуре конечной группы. Он утверждал, что если математики захотят вычислить ключевую величину, которая поможет им охарактеризовать свою группу, им достаточно будет просто рассмотреть один из нормализаторов Силова из определённого множества: этот нормализатор Силова будет характеризоваться точно таким же числом.

Эта величина подсчитывает количество «представлений» определённого типа — способов, которыми можно переписать элементы группы с помощью массивов чисел, называемых матрицами. Такой подсчёт может показаться произвольным, но он даёт математикам представление о том, как элементы группы соотносятся друг с другом, и участвует в вычислениях других важных свойств.

Казалось, не было веских причин, по которым величина Маккея должна была бы всегда оставаться одинаковой для конечной группы и её нормализаторов Силова. Нормализатор Силова может содержать лишь долю доли процента от числа элементов в более крупной группе. Более того, нормализатор Силова часто имеет совершенно иную структуру.

Это было бы похоже на то, как «если бы на каждых выборах в США подсчитывали голоса в целом, а в одном маленьком городке в Монтане пропорции кандидатов оказывались бы точно такими же», — сказал Габриэль Наварро из Валенсийского университета. — «Не просто похожими, а не больше и не меньше. Точно такими же».

Но именно это и предположил Маккей — для всех конечных групп. Если это предположение оказалось бы верным, то жизнь математиков значительно упростилась бы: с нормализаторами Силова работать гораздо проще, чем с их родительскими группами. Это также указывало бы на наличие более глубокой математической истины, которую математики пока не могут понять.

Через год после того, как Маккей впервые заметил это совпадение, математик по имени Марти Айзекс доказал, что оно верно для большого класса групп. Но затем математики зашли в тупик. Им удавалось показать, что это верно для той или иной конкретной группы, но оставалось ещё бесконечное множество групп, с которыми предстояло разобраться.

Доказать гипотезу в полном объёме казалось непосильно сложной задачей. Как оказалось, следующий значительный прорыв в решении этой проблемы потребовал бы завершения одного из самых титанических математических проектов в истории.

Один гигантский скачок для теории групп, один маленький шаг для Маккея

Этот проект — попытка классифицировать все составные части конечных групп — в конечном итоге потребовал тысяч доказательств, а на его завершение ушло более 100 лет. Но в 2004 году математикам наконец удалось показать, что все составные части должны относиться к одной из трёх категорий или же входить в список из 26 исключений.

Математики давно подозревали, что, как только они завершат классификацию, она поможет упростить решение таких задач, как гипотеза Маккея. Возможно, им не нужно было доказывать гипотезу для всех конечных групп. Возможно, им нужно было доказать лишь альтернативное утверждение, охватывающее 29 типов строительных блоков — или для некоторого связанного с ними множества простых групп, — которое автоматически следовало бы из полной гипотезы Маккея.

Но сначала кто‑то должен был показать, что эта стратегия действительно сработает. В тот же год, когда классификация была официально завершена, Айзекс, Наварро и Гунтер Малле нашли правильный способ переформулировать гипотезу Маккея так, чтобы им пришлось сосредоточиться лишь на узком множестве групп.

Для каждой группы в этом новом множестве им предстояло доказать нечто более сильное, чем то, что предложил Маккей: во‑первых, количество представлений должно быть одинаковым как для группы, так и для нормализатора Силова; во‑вторых, эти представления должны соотноситься друг с другом в соответствии с определёнными правилами. Айзекс, Наварро и Малле показали, что если это более строгое утверждение верно для этих конкретных групп, то гипотеза Маккея должна быть верна для любой конечной группы. («Это было во время Евро-2004», — вспоминает Наварро. Его соавторы «не знали, что я иногда увиливал от работы, чтобы посмотреть несколько матчей. Но некоторые вещи реально важны».)

Переформулировка задачи, выполненная этой тройкой, стала крупным прорывом. В течение нескольких лет математики использовали её для решения большинства случаев гипотезы Маккея. Более того, она помогла им упростить связанные с ней вопросы, в которых также предполагалось использовать часть объекта для изучения целого. «С помощью этого подхода в качестве шаблона уже были решены бесчисленные гипотезы», — сказала Манди Шеффер Фрай, математик из Университета Денвера.

Однако существовал один класс групп — «группы лиева типа» — для которых новая версия гипотезы Маккея оставалась нерешённой. Представления этих групп было особенно сложно изучать, и доказать, что взаимосвязи между ними удовлетворяют условиям, сформулированным Айзексом, Наварро и Малле, было непростой задачей.

Но над этой проблемой работала одна из аспиранток Малле — Бритта Шпет.

«Наша навязчивая идея»

В 2003 году Шпет поступила в Университет Касселя, чтобы начать работу над докторской диссертацией под руководством Малле. Она идеально подходила для работы над гипотезой Маккея: ещё в старшей школе она могла днями и неделями заниматься одной‑единственной задачей. Ей особенно нравились задачи, которые проверяли её выносливость, и она с теплотой вспоминает долгие часы, проведённые в поиске «хитростей, которые, в некотором смысле, даже не такие уж и глубокие».

Шпет посвятила своё время как можно более глубокому изучению представлений групп. После получения степени магистра она решила использовать эти знания, чтобы продолжить постепенное продвижение к решению гипотезы Маккея. «У неё есть эта сумасшедшая, очень крутая интуиция, — говорит Шеффер Фрай, её друг и соавтор. — Она способна предвидеть, что всё будет именно так».

Через несколько лет, в 2010 году, Шпет начала работать в Университете «Париж‑Сите», где и познакомилась с Кабанесом. Он был экспертом по более узкому классу групп, лежащих в основе переформулированной версии гипотезы Маккея, и Шпет часто заходила к нему в кабинет, чтобы задать вопросы. Кабанес частенько восклицал: «Эти группы такие сложные, боже мой!», — вспоминает он. Несмотря на первоначальные колебания, в конце концов и он увлёкся этой задачей. Она стала «нашей навязчивой идеей», — сказал он.

Существует четыре категории групп лиева типа. Вместе Шпет и Кабанес приступили к доказательству гипотезы для каждой из этих категорий и в течение следующего десятилетия опубликовали несколько важных результатов.

Их работа помогла им лучше понять группы лиева типа. Хотя эти группы — наиболее распространённые составные части других групп и поэтому представляют большой математический интерес, их представления невероятно сложно изучать. Кабанес и Шпет часто вынуждены были опираться на малопонятные теории из самых разных областей математики. Но, изучая эти теории, они дали одни из лучших на сегодняшний день характеристик этих важных групп.

В то же время они начали встречаться и впоследствии завели двоих детей. (В конце концов они поселились вместе в Германии, где с удовольствием работают бок о бок у какой‑нибудь доски из трёх, что есть у них в доме.)

К 2018 году у них осталась всего одна категория групп лиева типа. Оставалось разобраться с ней — и гипотеза Маккея будет доказана.

На решение этого последнего случая у них ушло ещё шесть лет.

«Впечатляющее достижение»

Четвёртый тип групп «сопровождался столькими трудностями, столькими неприятными неожиданностями», — сказала Шпет. (Ситуацию усугубляло то, что в 2020 году из‑за пандемии их двое маленьких детей не ходили в школу, что затрудняло их работу.) Но постепенно ей и Кабанесу удалось показать, что число представлений для этих групп совпадает с числом их нормализаторов Силова — и что способ, которым эти представления сопоставляются, удовлетворяет необходимым правилам. Последний случай был решён. Отсюда автоматически следовало, что гипотеза Маккея верна.

В октябре 2023 года они наконец почувствовали себя достаточно уверенно в своём доказательстве, чтобы объявить о нём перед аудиторией из более чем 100 математиков. Год спустя они разместили его в Интернете, чтобы остальные члены сообщества могли с ним ознакомиться. «Это удивительно впечатляющее достижение», — сказала Радха Кессар из Манчестерского университета.

Теперь математики могут с уверенностью изучать важные свойства групп, рассматривая исключительно их нормализаторы Силова — это гораздо более простой подход к пониманию этих абстрактных объектов, который, возможно, найдёт практическое применение. И в процессе установления этой связи, по словам Наварро, исследователи разработали «прекрасную, удивительную и глубокую математику».

Теперь другие математики надеются исследовать ещё более глубокую концептуальную причину, по которой странное совпадение, обнаруженное Маккеем, действительно имеет место. Хотя Шпет и Кабанес доказали это, математики до сих пор не понимают, почему сравнительно крошечного множества достаточно, чтобы сказать так много о его более крупной родительской группе.

«Должна быть какая‑то структурная причина, по которой эти числа совпадают», — сказал Кессар.

Некоторые математики провели предварительную работу, пытаясь понять эту связь, но пока она остаётся загадкой.

Шпет и Кабанес движутся дальше, каждый из них ищет свою следующую «навязчивую идею». По словам Шпет, до сих пор ничто не поглощало её так, как гипотеза Маккея. «Если ты уже совершил одно большое дело, то трудно найти в себе смелость и энтузиазм для следующего», — сказала она. «Иногда это была настоящая борьба. Но в то же время это придавало цель каждому дню».