[Перевод] Почему доказательство квазигипотезы Римана от OpenAI удивило самих математиков

Автор оригинала: Konstantin Kakaes

В отличие от других недавних доказательств, сделанных ИИ, это уже разобрали живые эксперты. Последствия, по словам одного математика, «ошеломляющие».

Гипотеза Римана — фундаментальное утверждение о распределении простых чисел. Иллюстрация: Emily Buder / Quanta Magazine; Guan-Huei Wu для Quanta Magazine

Среди 377 результатов, которые OpenAI объявила 6 октября 2026 года, один выделялся. Компания заявила, что закрыла «квазигипотезу Римана» — ослабленную версию гипотезы Римана, которую можно считать главным открытым вопросом математики. Как сказал Джаред Дьюкер Лихтман из Стэнфорда, новое доказательство — «самое значительное достижение ИИ в математике на сегодня, причём с большим отрывом».

Гипотеза Римана остаётся открытой больше 160 лет. Её решение позволило бы математикам лучше понять природу простых чисел, одного из важнейших строительных блоков математики. И это только начало.

Последствия даже более скромного результата, квазигипотезы, «ошеломляющие», говорит Максим Радзивилл из Нью-Йоркского университета. «В каком-то смысле подавляющее большинство следствий гипотезы Римана вытекает уже из квазигипотезы».

Более того, вопреки давним ожиданиям математиков, доказательству не понадобились новые понятия: оно нашло скрытые связи между старыми. «Доказательство — неожиданный синтез хорошо известных идей», — говорит Александр Данн из Технологического института Джорджии.

Отчасти результат опирается на методы, которые первыми разработали Радзивилл и Данн. Вместе с другими специалистами по теории чисел они пытаются разобраться в доказательстве и понять, что оно может значить. Теперь у них начинают появляться ответы.

Дзета-функция и не только

Чтобы понять, о чём квазигипотеза Римана, сначала нужно понять саму гипотезу Римана. Когда на рубеже веков Математический институт Клэя объявил семь «задач тысячелетия», гипотеза Римана возвышалась над остальными шестью. Только она перешла в этот список из знаменитого перечня задач, которым Давид Гильберт задал направление математике столетием раньше.

На первый взгляд гипотеза касается поведения одной конкретной функции. Возьмём сумму 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … Теперь с её помощью (и особого математического приёма, расширяющего область её применения) построим более общую функцию — дзета-функцию Римана (ζ):

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …

Здесь аргумент s — комплексное число. У комплексного числа две части: «действительная» и «мнимая», то есть кратная квадратному корню из −1 (его обозначают i). Любое комплексное число можно представить точкой на плоскости: действительная часть откладывается по горизонтали, мнимая — по вертикали.

Гипотеза Римана — о том, при каких значениях s дзета-функция обращается в ноль.

Но речь в ней о гораздо большем, чем поведение одной функции. Как понял Бернхард Риман, впервые сформулировавший гипотезу в 1859 году, эта функция связана с закономерностями в простых числах — целых числах, которые делятся только на единицу и на себя. Многие математики называют их «атомами арифметики».

Давно известно, что по мере движения вдоль числовой прямой простые числа редеют. Риман показал, что то, как именно они редеют, в некотором смысле определяется дзета-функцией, а точнее — точками, где она равна нулю.

Несложно доказать, что если s — отрицательное чётное число (−2, −4, −6, …), то ζ(s) = 0. Это так называемые тривиальные нули. Гипотеза Римана утверждает, что все остальные нули дзета-функции, нетривиальные, лежат там, где действительная часть s равна 1/2. То есть все они должны находиться на одной вертикальной прямой.

Если бы хоть один нетривиальный ноль нашёлся в стороне от этой прямой, это означало бы, что простые числа образуют крайне неожиданную закономерность, какой до сих пор никто не наблюдал.

Даже простое сужение области, где могут находиться нетривиальные нули, имело огромные последствия. Сам Риман доказал, что нетривиальные нули дзета-функции могут лежать только в вертикальной полосе между 0 и 1. Затем, в 1896 году, два математика показали, что на краях этой полосы нулей нет. Как прямое следствие они смогли доказать важный результат — теорему о распределении простых чисел, формулу того, насколько быстро в среднем редеют простые числа.

Время простых чисел

Связь между дзета-функцией и простыми числами была известна ещё до Римана. В 1737 году Леонард Эйлер показал, что дзета-функция равна другой функции, которую можно записать целиком через простые числа:

ζ(s) = 1/(1 − 1/2^s) × 1/(1 − 1/3^s) × 1/(1 − 1/5^s) × …

Именно из-за таких странных связей у математиков возникает ощущение, что они заглядывают в скрытую реальность. С тех пор математики продолжают строить на этом ключевом звене.

Если гипотеза Римана верна, математики могут гарантировать, что любые отклонения от среднего, которое даёт теорема о распределении простых чисел, всегда будут небольшими.

Математики численно проверили, что первые 12 триллионов нетривиальных нулей лежат на прямой 1/2. Но они не могут быть уверены, что гипотеза верна для всех нулей, а даже один-единственный выброс стал бы землетрясением. Как писал Энрико Бомбьери в статье с формулировкой задачи для премии тысячелетия, «неверность гипотезы Римана внесла бы хаос в распределение простых чисел».

Алмазы в мусоре

Здесь и появляется квазигипотеза Римана. Если гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули лежат на вертикальной прямой 1/2, то «квази»-версия требует доказать лишь, что все они помещаются в вертикальной полосе более узкой, чем известная полоса от 0 до 1. Чем уже полоса, тем больше можно сказать о распределении простых чисел.

OpenAI объявила две разные версии доказательства квазигипотезы. Первая, датированная 30 сентября 2026 года, утверждала, что все нетривиальные нули лежат между 1/8 и 7/8, и была формально проверена на языке Lean. Вторая, законченная почти неделей позже (и пока формально не проверенная), утверждала более слабый результат: действительная часть нулей лежит между 1/12 и 11/12. Но если первая статья занимает 199 страниц, то вторая — сравнительно скромные 49.

Как и многие другие недавние результаты, созданные ИИ, обе статьи «написаны ужасно (так, что любой математический журнал отклонил бы их сразу)», написал Радзивилл в письме. «Они сильно недотягивают до принятых в нашей области стандартов изложения и ясности». Поэтому математики отложили статью с 7/8 и сосредоточились на статье с 11/12: техника там, судя по всему, похожая, а следствия схожие. «Люди смотрят в основном на результат с 11/12 потому, что он короче», — говорит Радзивилл.

Максим Радзивилл (вверху) и Александр Данн удивились, что в недавнем доказательстве квазигипотезы Римана от OpenAI использованы методы, которые они разработали несколько лет назад. Фото: Caltech

Неслучайно результат с 11/12 — единственная из 722 статей, выложенных OpenAI 6 октября, которую редактировал человек. На вопросы о том, кто этот человек и почему только эта статья получила пользу от человеческой экспертизы перед публикацией, OpenAI не ответила. На вопросы Quanta компания сообщила: «Статья — результат работы всех сотрудников OpenAI».

Математики интенсивно изучают статью уже пару недель с момента её выхода. Питер Сарнак, видный специалист по теории чисел из Принстона, решил перестроить курс, который читает в этом семестре, чтобы разбирать её. Радзивилл говорит, что теперь может изложить ход доказательства на половине страницы, а более подробные разборы других математиков занимают от семи до 13 страниц. (На момент написания статьи они ещё не опубликованы, но ходят по рукам.) Эксперты в основном согласны, что результат верен и что его новизна — в том, как он сводит воедино идеи теории чисел, которые существуют уже давно.

Сарнак десятилетиями доказывал, что к гипотезе Римана нужно подходить, рассматривая дзета-функцию как одного из членов более широкого семейства функций, и доказывать утверждения про всё семейство. «Но было неясно, как именно это сделать и какое семейство рассматривать», — говорит Майкл Рубинштейн из Университета Ватерлоо.

Как выяснилось, интуиция Сарнака была верной. Но семейство, которое нашла модель OpenAI, раньше упускали из виду. Хенрик Иванец из Ратгерского университета почти наткнулся на него в 2002 году, когда выделил ряд близких семейств в попытке доказать гипотезу Римана.

Чтобы найти нужное семейство, понадобились малоизвестные математические объекты — метаплектические формы, которые Данн изучает последние пять лет. «Этого никто не ожидал», — говорит он. До сих пор метаплектические формы встречались в теории чисел довольно редко, добавляет Данн, «так что надеюсь, эта красивая и эзотерическая теория получит внимание, которого заслуживает».

К удивлению Данна и Радзивилла, формула, которую они доказали в 2021 году, стала ключевым ингредиентом доказательства (наряду с работами многих других математиков). Задним числом, говорит Радзивилл, специалисты в той ветви теории чисел, к которой относится вся эта работа, ошибались, считая свои инструменты недостаточно сильными для квазигипотезы Римана. Они были убеждены, что для её доказательства понадобятся методы совсем из другой ветви теории чисел. «Убеждение» модели ИИ, что их инструментов может хватить, оказалось решающим взглядом со стороны. «Довольно смелое было убеждение!» — говорит Радзивилл.

Работа OpenAI одновременно раздражает и воодушевляет математиков. Сарнак, со своей стороны, написал в письме, что не признает её «теоремой», пока люди не проверят и не поймут все детали. Но «в целом чувство такое, будто гора с плеч», говорит Радзивилл. Доказательство квазигипотезы Римана одним махом превращает в математические истины десятки результатов не только в теории чисел, но и в геометрии и теоретической информатике.

Специалисты по теории чисел сомневаются, что именно это сочетание методов позволит им опустить границу 7/8 до заветной 1/2. «Мне кажется наиболее вероятным, что когда математики полностью освоят новые методы и проработают их следствия, мы окажемся так же далеко от полной гипотезы Римана, как и раньше, — говорит Уилл Соуин из Принстона. — Но я в этом не уверен».

Томас Блум, математик из Манчестерского университета, согласен, что полная гипотеза Римана по-прежнему кажется недостижимой. Но, добавляет он, «ещё несколько недель назад мы сказали бы то же самое про квазигипотезу! Сейчас меня уже ничто не удивит».